本文主要介绍一个 Search 和 Recommend 中常用的一个评估指标:NDCG。
NDCG(Normalized Discounted Cumulative Gain)可以翻译为归一化折损累计增益,通常用来衡量和评价 ranking 的准确性。比如在电商系统,用户一个 query 会返回一个商品列表,假设列表长度为 N,可以用 NDCG@N 评价该列表的排序与真实交互列表的差距。
Cumulative Gain#
CG (累计增益) 是搜索结果列表中所有文档的分级相关性得分的总和。CG 只考虑了搜索结果列表中结果的相关性,而没有考虑这些文档在结果列表中的位置因素。给定一个结果列表的排序位置 , 可定义为:
其中表示第位置上的相关性。
比如用户在某个电商平台搜索「手机」。结果的前 6 个结果分别是:iPhone,xiaomi,Huawei,OPPO, VIVO,三星。而用户更倾向于选择的是 Huawei,这时候无论华为手机排在前 6 的任何一位,对于累计增益都是等价的。但是对于 search,recommend 系统来说,最好的结果是 Huawei 手机放在第一个,因此引出下一个指标,折损累计增益。
Discounted Cumulative Gain#
DCG (折损累计增益) 提出,在搜索结果列表较后面位置出现相关性较高的结果时,应该对评测得分施加惩罚。惩罚比例与文档的所在位置的对数值相关。给定一个列表结果的排序位置为,DCG 可以定义为:
还有一个比较常用的公式,它能用来增加相关度影响的比重:
后面这个公式更常用,在多数的搜索公司和电商平台。
当相关性得分,即取值只有 0 和 1 时,上面两个公式是等价的。
Normalized Discounted Cumulative Gain#
NDCG (归一化折损累计增益) , 回到文章开始提到的 NDCG。NDCG 认为搜索结果的长度因 query 而异,仅使用 DCG 对不同 query 的 performance 的比较不具有一致性。因此,对于所选择的 $p$ 值,每个位置的 CG 应该在 query 上做规范化,首先对库里所有相关的结果按相关性排序,在通过位置 $p$ 生成最大可能的 DCG , 通常称为 IDCG (理想 DCG) 。对于一个 query,NDCG 可以如下计算:
其中 IDCG 为理想状态下的 DCG,计算方式为:
表示库里相关性最高的个结果列表(按相关性排序后)。
对所有 query 的 NDCG 值取平均,来评判搜索引擎 Ranking 算法的平均 performance。NDCG 值越大,Ranking 算法 performance 越好。在一个完美的 Ranking 算法里,和应该是相等的,此时 NDCG 的值为 1。而 NDCG 值最小为 0,所以 NDCG 的值分布在 0 到 1 之间。它是一个相对值,因此可以跨 query 进行比较。
计算举例#
按前文提到的用户搜索 query 为「手机」并返回 6 个结果为例,按结果为:iPhone,xiaomi,Huawei,OPPO, VIVO,三星,分别对应相关性得分为 3,2,3,0,1,2
那么,对应的 CG 为:
改变任意两个结果的顺序并不会影响 CG 计算的最终结果。DCG 用于强调出现在结果列表前面的高度相关的结果。 使用对数进行归约,每个结果的 DCG 依次为:
1 | 3 | 7 | 1 | 3 | 7 |
2 | 2 | 3 | 1.585 | 1.262 | 1.893 |
3 | 3 | 7 | 2 | 1.5 | 3.5 |
4 | 0 | 0 | 2.322 | 0 | 0 |
5 | 1 | 1 | 2.585 | 0.387 | 2.585 |
6 | 2 | 3 | 2.807 | 0.712 | 1.069 |
用第一个 DCG 公式计算如下:
再用第二个 DCG 公式计算如下:
现在将第 3 个结果和第 4 个结果位置交换,会导致 DCG 降低。因为相关性较低的结果在排序中排名靠前,也就是说,一个更相关的结果被放在一个较低的位置上被更多地折损。
这个 query 的 performance 在这种情况下是没法比较的的,因为另一个 query 可能有更多的结果,导致更大的 DCG,但不一定代表这个 query 的 performance 更好。 为了进行比较,必须对 DCG 值进行归一化。
为了归一化 DCG 的值,需要对给定 query 进行理想的排序。在本示例中,该排序将是所有已知相关性判断的单调递减排序。 除了这个示例中的 6 个结果之外,假设我们还知道有一个结果 7 的相关性分数为 3,而一个结果 8 的相关性分数为 2。 那么理想的排序是:
m 没有第 7、8 个结果时,理想排序是
理想排序的 DCG 或称为 IDCG, 计算前 6 个位置
所以给定这个 query 的 NDCG 可计算为:
Python 代码计算 NDCG#
import numpy as np
def get_dcg(rec_list):
log_2 = np.log2(np.arange(2, len(rec_list) + 2))
mi = np.power(2, rec_list) - 1
dcg = np.array(mi / log_2).sum()
return dcg
if __name__ == "__main__":
rec_list = [3, 2, 3, 0, 1, 2]
sort_rec_list = [3, 3, 2, 2, 1, 0]
dcg = get_dcg(rec_list)
idcg = get_dcg(sort_rec_list)
print("ndcg = dcg / idcg = ", dcg/idcg)